La compacité d’une structure cristalline représente le taux d’occupation de l’espace par les entités chimiques qui le constitue. Elle est égale au rapport du volume occupé par le volume total.
$$ c = \frac{V_{occupé}}{V_{total}} $$
Dans le modèle des sphères dures, elle peut être calculée en connaissant la maille conventionnelle du cristal. Le volume occupé correspond alors à celui des sphères contenues dans la maille et le volume total correspond au volume de la maille.
Compacité d’une structure cubique simple
Pour une maille de côté \( a \) on dénombre un seul atome contenu dans la maille, d’où :
$$ c = \frac{V_{atome}}{a^3} $$
Les atomes sont assimilés à des sphères dures de rayon \( R \) tangentes suivant les arrêtes du cube. Le paramètre de maille est alors relié au rayon des atomes par la relation :
$$ a = 2R $$
En exprimant le volume des atomes et celui de la maille en fonction du rayon on obtient :
$$ c = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{(2R)^3} $$
Après simplification on obtient finalement :
$$ c = \frac{\pi}{6} \simeq 0,52 $$
La compacité d’un cristal de structure cubique simple est donc d’environ 52 %.
Compacité d’une structure cubique à faces centrées
Pour une maille de côté \( a \) on dénombre 4 atomes contenus dans la maille, d’où :
$$ c = \frac{4 \times V_{atome}}{a^3} $$
Les atomes sont assimilés à des sphères dures de rayon \( R \) tangentes suivant les diagonales de chaque face du cube. D’après le théorème de Pythagore, le paramètre de maille est alors relié au rayon des atomes par la relation :
$$ 4R = a \sqrt{2} \Leftrightarrow a = \frac{4R}{\sqrt{2}} $$
En exprimant le volume des atomes et celui de la maille en fonction du rayon on obtient :
$$ c = \frac{4 \times (\frac{4}{3} \pi R^3)}{(\frac{4R}{\sqrt{2}})^3} $$
Après simplification on obtient finalement :
$$ c = \frac{\pi \sqrt{2}}{6} \simeq 0,74 $$
La compacité d’un cristal de structure cubique simple est donc d’environ 74 %.